Question

如圖為一正方體，A、B、C分別為所在邊的中點，過A、B、C三點的平面與此正方體表面相截，則其截痕的形狀是________．

Answer 1

矩形
分析：正方體EFGH-IJKL中，作出經過A、B、C三點的平面，交FJ于點D，順次連接AB、BD、DC、CA．根據線面平行、面面平行的性質與判定，證出AB∥DC且AC∥BD，可得四邊形ABDC是平行四邊形，再根據線面垂直的判定與性質，得到AB⊥BD，得四邊形ABDC是矩形．
解答：解：正方體EFGH-IJKL中，作出經過A、B、C三點的平面，交FJ于點D，
順次連接AB、BD、DC、CA，可得四邊形ABDC是矩形，證明如下
∵正方形IJKL中，A、B分別是KL、JI的中點
∴AB∥KJ
∵AB?平面FGKJ，KJ?平面FGKJ，∴AB∥平面FGKJ，
∵AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面FGKJ=DC，∴AB∥DC
又∵平面EFJI∥平面GKLH，平面ABDC∩平面EFJI=BD，平面ABDC∩平面GKLH=AC
∴AC∥BD，可得四邊形ABDC是平行四邊形
∵AB∥KJ，KJ⊥平面EFJI，∴AB⊥平面EFJI，
∵BD?平面EFJI，
∴AB⊥BD，得四邊形ABDC是矩形．即所求截痕的形狀是矩形．
故答案為：矩形
點評：本題給出經過正方體三條棱的中點的平面，求它與正方體截得截面的形狀，著重考查了正方體的性質、線面平行與面面平行的性質與判定、據線面垂直的判定與性質等知識，屬于基礎題．