Question

在等差數(shù)列{a_n}中，設(shè)S_n為它的前n項(xiàng)和，若S₁₅＞0，S₁₆＜0，且點(diǎn)A（3，a₃）與B（5，a₅）都在斜率為-2的直線l上．
（Ⅰ）求a₁的取值范圍；
（Ⅱ）指出

S1

a1

，

S2

a2

，…，

S15

a15

中哪個(gè)值最大，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)斜率的表示方法，求得等差數(shù)列的公差，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列求和公式表示出S₁₅和S₁₆，根據(jù)其范圍確定a₁的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)S₁₅和大于0判斷出a₈＞0，根據(jù)S₁₆=8（a₈+a₉）判斷出a₈＞0，a₉＜0進(jìn)而可知數(shù)列的前8項(xiàng)的和最大．進(jìn)而根據(jù)當(dāng)1≤i≤8時(shí)，

Si

ai

＞0；當(dāng)9≤i≤15時(shí)，

Si

ai

＜0，推斷出數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，進(jìn)而推斷出

S8

a8

最大．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得

a5-a3

5-3

=-2，則公差d=-2，
∴

S15=15a1+ 15×14 2 ×d=15(a1-14)＞0 S16=16a1+ 16×15 2 ×d=16(a1-15)＜0

?＜14＜a1＜15；
（Ⅱ）最大的值是

S8

a8

∵S₁₅=15a₈＞0，S₁₆=8（a₈+a₉）＜0
∴a₈＞0，a₉＜0即S₈最大
又當(dāng)1≤i≤8時(shí)，

Si

ai

＞0；當(dāng)9≤i≤15時(shí)，

Si

ai

＜0，數(shù)列{a_n}遞減
所以，

S1

a1

≤

S2

a2

≤≤

S8

a8

≥

S9

a9

≥≥

S15

a15

?

S8

a8

最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．涉及了等差數(shù)列的求和公式，通項(xiàng)公式，不等式問(wèn)題等，綜合性很強(qiáng)．