Question

【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣3=0．
（1）求圓的圓心C的坐標和半徑長；
（2）直線l經過坐標原點且不與y軸重合，l與圓C相交于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）兩點，求證： 為定值；
（3）斜率為1的直線m與圓C相交于D、E兩點，求直線m的方程，使△CDE的面積最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，

則圓心C的坐標為（﹣1，0），圓的半徑長為2

（2）解：設直線l的方程為y=kx，

聯立方程組 ，

消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，

則有： ；

所以 為定值

（3）解：解法一：設直線m的方程為y=kx+b，則圓心C到直線m的距離 ，

所以 ，

≤ ，

當且僅當 ，即 時，△CDE的面積最大，

從而 ，解之得b=3或b=﹣1，

故所求直線方程為x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．

解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，

所以 ≤2，

當且僅當CD⊥CE時，△CDE的面積最大，此時 ；

設直線m的方程為y=x+b，則圓心C到直線m的距離 ，

由 ，得 ，

由 ，得b=3或b=﹣1，

故所求直線方程為x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0

【解析】（1）把圓C的方程化為標準方程，寫出圓心和半徑；（2）設出直線l的方程，與圓C的方程組成方程組，消去y得關于x的一元二次方程，由根與系數的關系求出 的值；（3）解法一：設出直線m的方程，由圓心C到直線m的距離，寫出△CDE的面積，利用基本不等式求出最大值，從而求出對應直線方程；解法二：利用幾何法得出CD⊥CE時△CDE的面積最大，再利用點到直線的距離求出對應直線m的方程．