Question

有關方程3^x+4^x=5^x的根的情況的四種說法中，正確的是（　　）

Answer 1

分析：由于3，4，5是一組勾股數，能得到一個解x=2．設函數f（x）=3^x+4^x-5^x，f（x）=0當且僅當g（x）=1+（

4

3

）^x-（

5

3

）^x=0．由此利用導數性質能推導出f（x）實根唯一．

解答：解：由于3，4，5是一組勾股數，能得到一個解x=2．
設函數f（x）=3^x+4^x-5^x，
f（x）=0當且僅當g（x）=1+（

4

3

）^x-（

5

3

）^x=0時成立．
對g（x）求導
g'（x）=ln（

4

3

）•（

4

3

）^x-ln（

5

3

）•（

5

3

）^x，
對g'（x）作類似處理，令h（x）=ln（

4

3

）•（

4

3

）^x-ln（

5

3

）•（

4

5

）^x，
則g'（x）=0當且僅當h（x）=0成立，且h（x）與g'（x）都是單調遞增函數．
∵h（x）是單調遞增函數，∴h（x）=0有唯一解．
∵g'（x）是單調遞增函數，∴g'（x）＞0，
∴g（x）是單調遞增函數，∴g（x）實根唯一．
所以f（x）實根唯一．
故選A．

點評：本題考查方程的根的情況的判斷，解題時要認真審題，注意構造法和導數性質的合理運用．