Question

設有f（x）=4x⁴-4px³+4qx²+2p（m+1）x+（m+1）²．（p≠0）求證：
（1）如果f（x）的系數滿足p²-4q-4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一個二次三項式的平方．
（2）如果f（x）與F（x）=（2x²+ax+b）²表示同一個多項式，那么p²-4q-4（m+1）=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用配方法和因式分解法的方法將該函數表達式進行因式分解．
（2）利用多項式相等建立各項系數的相等關系，將無關的系數消掉，建立起字母p，q，m的關系．
解答：證明：（1）
∵，
∴
=
=
=
∴f（x）等于一個二次三項式的平方
（2）∵4x⁴-4px³+4qx²+2p（m+1）+（m+1）²=（2x²+ax+b）²
=4x⁴-4ax³+（a²+4b）x²+2abx+b²，
∴
由（1）可得a=-p代入（2）得
將a，b的表達式代入（3）得，
∴p[p²-4q-4（m+1）]=0．∵p≠0，∴p²-4q-4（m+1）=0．
點評：本題考查多項式的因式分解，考查待定系數法．注意配方法和分組分解因式的方法．注意多項式相等的轉化方法．