Question

設{x_n}是各項都為正數的等比數列，{y_n}是等差數列，且x₁=y₁=1，x₃+y₅=13，x₅+y₃=21．
（1）求{x_n}，{y_n}的通項公式．
（2）若i，j均為正整數，且1≤i≤j≤n，求所有可能乘積x_i•y_j的和S．

Answer 1

分析：（1）直接根據x₃+y₅=13，x₅+y₃=21列出關于公差和公比的等式，解方程求出公差和公比，即可求出通項公式．
（2）先根據條件得到S=x₁•y₁+（x₁+x₂）•y₂+…+（x₁+x₂+…+x_n）•y_n；再求出（x₁+x₂+…+x_n）•y_n的通項；最后利用錯位相減以及裂項求和法求出結果．

解答：解：（1）設{x_n}的公比為q（q＞0），{y_n}的公差為d，
則

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

得d=2，q=2，
所以：x_n=2^n-1，y_n=2n-1．
（2）由題意S=x₁•y₁+（x₁+x₂）•y₂+…+（x₁+x₂+…+x_n）•y_n…
研究通項：

(x1+x2+…+xn)•yn=(1+2+…2n-1)(2n-1)= 1-2n 1-2 •(2n-1) =(2n-1)•2n-(2n-1)，

…
∴S=[1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ]-

n(1+2n-1)

2

令T_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2^n；
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
由錯位相減法得：T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
∴S=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6-n²．

點評：本題主要考察等差數列和等比數列的綜合知識．其中涉及到數列求和的錯位相減法以及分組求和法，這是數列求和的常用方法．