Question

（2013•和平區(qū)二模）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面節(jié)ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC的中點(diǎn)．
（I）求證：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E為BC₁的中點(diǎn)，求證：OE∥平面A₁AB；
（III）求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知：平面AA₁C₁C⊥平面ABC，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可以得到，只要證明A₁O⊥AC就行了；
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A₁AB的法向量，證明OE與法向量垂直即可；
（III）利用向量的夾角公式，即可求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳₁A=A₁C，且O為AC的中點(diǎn)，
所以A₁O⊥AC．
又由題意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交線為AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
由題意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A₁（0，0，

3

），C₁（-2，0，

3

），E（-1，

1

2

，

3

2

）
則有：

AA1

=(-1，0，

3

)，

AB

=(-1，1，0)，

OE

=（-1，

1

2

，

3

2

）
設(shè)平面A₁AB的法向量為

n

=（x₀，y₀，z₀），則由

n • AA1 =0 n • AB =0

，可得

-x0+ 3 z0=0 -x0+y0=0

故可取

n

=(

3

，

3

，1)
∴

OE

•

n

=0
∵OE?平面A₁AB
∴OE∥平面A₁AB；
（III）解：∵C（-1，0，0），∴

A1C

=（-1，0，-

3

）
∵平面AA₁B的一個(gè)法向量為

n

=(

3

，

3

，1)
∴|cos＜

n

，

A1C

＞|=|

- 3 +0- 3

7 ×2

|=

21

7

∵因?yàn)橹本�A₁C與平面A₁AB所成角θ和向量

n

與

A1C

所成銳角互余，
∴sinθ=

21

7

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角、三角函數(shù)等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．