Question

【題目】已知函數y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的圖象如圖所示．給出下列四個命題：

①方程f[g(x)]＝0有且僅有6個根；②方程g[f(x)]＝0有且僅有3個根；

③方程f[f(x)]＝0有且僅有7個根；④方程g[g(x)]＝0有且僅有4個根．

其中正確命題的序號為________.

Answer 1

【答案】①④

【解析】①設t＝g(x)，則由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，則t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.當t1＝0時，g(x)＝0有2個不同根；當－2<t2<－1時，g(x)＝t2有2個不同根；當1<t3<2時，g(x)＝t3有2個不同根，∴方程f[g(x)]＝0有且僅有6個根，故①正確．

②設t＝f(x)，若g[f(x)]＝0，則g(t)＝0，則－2<t1<－1或0<t2<1.當－2<t1<－1時，f(x)＝t1有1個根；當0<t2<1時，f(x)＝t2有3個不同根，

∴方程g[f(x)]＝0有且僅有4個根，故②錯誤．

③設t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，則f(t)＝0，則t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.當t1＝0時，f(x)＝t1有3個不同根；當－2<t2<－1時，f(x)＝t2有1個根；當1<t3<2時，f(x)＝t3有1個根，∴方程f[f(x)]＝0有且僅有5個根，故③錯誤．

④設t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，則g(t)＝0，則－2<t1<－1或0<t2<1.當－2<t1<－1時，g(x)＝t1有2個不同根；當0<t2<1時，g(x)＝t2有2個不同根，∴方程g[g(x)]＝0有且僅有4個根，故④正確．

綜上，命題①④正確．