Question

已知函數f(x)=

2-x

x+1

；
（1）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數；
（2）是否存在負數x₀，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x₀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可用函數的單調性定義證明，也可以用導數來證明；
（2）假設存在，則利用指數函數的值域得到f（x₀）的范圍，構造關于x₀的不等式，解得看是否符合條件．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂（1分）
∵f(x1)-f(x2)=

2-x1

x1+1

-

2-x2

x2+1

=

3x2-3x1

(x1+1)(x2+1)

＞0（4分）
∴函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數（1分）
（2）不存在（1分）
假設存在負數x₀，使得f(x0)=3x0成立，（1分）
則∵x0＜0，∴0＜3x0＜1（1分）
即0＜f（x₀）＜1∴0＜

2-x0

x0+1

＜1（1分）

-1＜x0＜2 -2x0+1 x0+1 ＜0

=＞

-1＜x0＜2 x0＜-1或x0＞ 1 2

=＞

1

2

＜x0＜2（2分）
與x₀＜0矛盾，（1分）
所以不存在負數x₀，使得f(x0)=3x0成立．（1分）
另：f(x)=-1+

3

x+1

，
由x₀＜0得：f（x₀）＜-1或f（x₀）＞2但0＜3x0＜1，
所以不存在．

點評：單調性證明一般有定義法和導數法，存在性問題一般先假設存在，解出矛盾則不存在，否則就存在．