Question

已知常數a＞1，變數x、y有關系：3log_xa+log_ax-log_xy=3
（1）若x=a^t（t≠0），試以a、t表示y．
（2）t∈[1，+∞）時，y有最小值8，求此時a和x的值．

Answer 1

分析：（1）、利用對數的換底公式可知：x=a^t（t≠0），由3log_xa+log_ax-log_xy=3得

3

t

+t-

1

t

loga y=3，再由指數和對數的轉化公式進行合理轉化，把對數方程轉化為指數函數；
（2）、指數函數的性質可知：當t∈[1，+∞）時，t²-3t+3=(t-

3

2

)2+

3

4

有最小值

3

4

，此時t=

3

2

，且y有最小值a

3

4

=8，據此能求出此時a和x的值．

解答：解：（1）．∵x=a^t（t≠0），∴由3log_xa+log_ax-log_xy=3得

3

t

+t-

1

t

loga y=3，∴log_ay=t²-3t+3，∴y=at2-3t+3，t≠0．
（2）．當t∈[1，+∞）時，t²-3t+3=(t-

3

2

)2+

3

4

有最小值

3

4

，此時t=

3

2

，且y有最小值a

3

4

=8，解得a=16．所以t∈[1，+∞）時，y有最小值8，此時a=16和x=16

3

2

=64.

點評：適當地借助指數函數的圖象數形結合效果會更好．