Question

已知函數f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}．對定義域內的任意x₁、x₂，都有f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，且當x＞1時，f(x)＞0，且f(2)＝1

(1)求證：f(x)是偶函數；

(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數；

(3)解不等式f(2x²－1)＜2

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因對定義域內的任意x1﹑x2都有 　　f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)． 　　又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)． 　　再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，從而f(－1)＝0， 　　于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數．4分 　　(2)設0＜x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f()]＝－f()． 　　由于0＜x1＜x2，所以＞1，從而f()＞0， 　　故f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 　　所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數．8分 　　(3)由于f(2)＝1，所以2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)， 　　于是待解不等式可化為f(2x2－1)＜f(4)， 　　結合(1)(2)已證的結論，可得上式等價于|2x2－1|＜4， 　　解得{x|－＜x＜，且x≠0}．12分