Question

（理科）設函數f（x）=lnx-x+1，
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求證：lnx≤x-1；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由導數f'（x）＞0求得x的范圍，即為函數的增區間，同理，由導數f'（x）＜0求得x的范圍，即為函數的減區間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當x=1時，f（x）_max=-1+1=0．故對任意x＞0，有f（x）≤0，由此化簡可得要證的不等式．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x≥2時，則，，故不等式的左邊小于，再由，可得
，從而證得不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）＞0，得，，x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數，在（0，1）為增函數．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當x=1時，f（x）_max=-1+1=0．
對任意x＞0，有f（x）≤0，即lnx-x+1≤0．  即lnx≤x-1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，當x≥2時，則，
∴，∴=
又，
∴
故不等式的左邊小于，故要證的不等式成立．…（14分）
點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，用放縮法證明不等式，體現了轉化的數學思想，其中，用放縮法證明不等式，是解題的難點．