Question

3．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x²-2x，
（1）求f（x）在x＜0時的解析式；
（2）如果f（x）在[-1，a-2]上單調遞減，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的性質，利用轉化法進行求解即可．
（2）結合一元二次函數的單調性的性質進行判斷即可．

解答 解：（1）當x＜0時，則-x＞0，
故f（-x）=（-x）²+2x=x²+2x，
由于f（x）為奇函數，f（-x）=-f（x），
于是f（-x）=-x²-2x，x＜0；…（6分）
（2）要使f（x）在[-1，a-2]上單調遞減，必須$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1}\end{array}\right.$，…（10分）
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤3}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤3．…（12分）

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用一元二次函數的性質結合函數奇偶性的性質是解決本題的關鍵．