Question

已知|a|=1，|b|=

2

，且

a

⊥（

a

+

b

），則向量

a

與向量

b

夾角的大小是

120°

；向量

b

在向量

a

上的投影是

-1

．

Answer 1

分析：本題是一個求夾角的問題，條件中給出了兩個向量的模長，要求夾角只要求出向量的數量積，需要運用

a

⊥（

a

+

b

），數量積為零，得到關于

a

與

b

數量積的方程，解出結果代入求夾角的公式，注意夾角的范圍，根據投影的定義，應用公式|

a

|cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |

求解．

解答：解：∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

⊥（

a

+

b

），
∴

a

•(

a

+

b

)=0，
∴

a

2+

a

•

b

=0，
∴

a

•

b

=-

a

2=-1，
∴cos＜

a

，

b

＞=

-1

1×2

=-

1

2

，
∵＜

a

，

b

＞∈[0°，180°]，
∴兩個向量的夾角是120°，
而 

a

•

b

=-

a

2=-1，

b

在

a

上的投影為

a • b

| a |

=-1，
故答案為：120°，-1

點評：本題表面上是對向量數量積的考查，根據兩個向量的夾角和模，用數量積列出式子，但是這步工作做完以后，題目的重心轉移到求角的問題．注意解題過程中角的范圍．