Question

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率，點F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點，過右焦點F₂且垂直于長軸的弦長為

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的左焦點F₁作直線l，交橢圓于P，Q兩點，若，求直線l的傾斜角．

Answer 1

考點：

直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．

專題：

圓錐曲線中的最值與范圍問題．

分析：

（1）設橢圓的標準方程為．右焦點F₂（c，0），把x=c代入橢圓方程得，解得．可得．利用離心率計算公式及a，b，c的關系可得，解出即可．

（2）設直線l與橢圓的交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．分當直線l的斜率為0和不為時討論，斜率不為0時設直線l的方程為my=x+1，與橢圓的方程聯立，得到根與系數的關系，再利用數量積，即可得出．直線l的斜率為0時比較簡單．

解答：

解：（1）由題意可設橢圓的標準方程為．

右焦點F₂（c，0），把x=c代入橢圓方程得，解得．

∴．

聯立，解得．

∴橢圓的標準方程為．

（2）設直線l與橢圓的交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．

①當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為my=x+1．

聯立，得（2+m²）y²﹣2my﹣1=0．

∴，．

∵2==（x₁﹣1，y₁）•（x₂﹣1，y₂）=（my₁﹣2，y₁）•（my₂﹣2，y₂）=（m²+1）y₁y₂﹣2m（y₁+y₂）+4，

∴2=，

化為m²=1，解得m=±1，

∴直線l的斜率k==±1．

設直線的傾斜角為α，則tanα=±1．

∴或．

②當直線l的斜率為0時，P，Q．

==﹣1≠2，不符合題意，應舍去．

綜上可知：直線l的傾斜角α為或．

點評：

本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的數量積等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．