【題目】設橢圓
的離心率為
，圓
與
正半軸交于點
，圓
在點處的切線被橢圓
截得的弦長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設圓上任意一點
處的切線交橢圓于點
、
，求證：
.
【答案】（1）
；（2）詳見解析.
【解析】
（1）由離心率為
得
，再根據圓
在點
處的切線被橢圓
截得的弦長為
得到點
在橢圓上，解方程組即得到橢圓的標準方程.
（2）先證明當過點
與圓相切的切線斜率不存在時
，再證明當過點與圓相切的切線斜率存在時，即可得證.
（1）解設橢圓的半焦距為
，由橢圓的離心率為，由題知，
，∴橢圓的方程為
，解得
，點在橢圓上，∴
，解得
，
，∴橢圓的方程為.
（2）證明：當過點與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線的方程為
，
由（1）知，
，
，
，
，
∴
，即，
當過點與圓相切的切線斜率存在時，
可設切線的方程為
，
，
，
∴
，即
，
聯立直線和橢圓的方程得
，
即
，
得
，且
，
，
∵
，
，
∴
，
綜上所述，圓上任意一點
、
、處的切線交橢圓于點，都有.
全能練考卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；
（2）設直線與曲線交于
兩點，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
經過
兩點，且圓心在直線
上．
（1）求圓的方程；
（2）已知過點
的直線
與圓相交截得的弦長為
，求直線的方程；
（3）已知點
，在平面內是否存在異于點
的定點
，對于圓上的任意動點
，都有
為定值?若存在求出定點的坐標，若不存在說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在路邊安裝路燈：路寬
米，燈桿長
米，且與燈柱
成120°角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線
與燈桿垂直且正好通過道路路面的中線.
（1）求燈柱高的長度（精確到0.01米）；
（2）若該路燈投射出的光成一個圓錐體，該圓錐體母線與軸線的夾角是30°，寫出路燈在路面上投射出的截面圖形的邊界是什么曲線？寫出其相應的幾何量（精確到0.01米）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
過點
(
為非零常數)與
軸不垂直的直線
與C交于
兩點.
(1)求證:
(
是坐標原點)；
(2)AB的垂直平分線與軸交于
，求實數
的取值范圍；
(3)設A關于軸的對稱點為D,求證:直線BD過定點,并求出定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若存在實數
使得
則稱
是區間
的
一內點．
（1）求證：
的充要條件是存在
使得是區間
的一內點；
（2）若實數
滿足：
求證：存在，使得
是區間
的一內點；
（3）給定實數
，若對于任意區間，
是區間的
一內點，
是區間的
一內點，且不等式
和不等式
對于任意
都恒成立，求證：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩人各進行
次射擊，甲每次擊中目標的概率為
，乙每次擊中目標的概率
，
（Ⅰ）記甲擊中目標的次數為
，求的概率分布及數學期望；
（Ⅱ）求甲恰好比乙多擊中目標
次的概率．
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