Question

已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為，，點在橢圓 上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為，且與交于點.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）; 若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）. (2)滿足條件的點有兩個.

【解析】

(1)試題分析：解法1：設橢圓的方程為,依題意:    

解得:         ∴ 橢圓的方程為.

解法2：設橢圓的方程為，根據橢圓的定義得，即， ∵，  ∴.   ∴ 橢圓的方程為.  

(2) 解法1：顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，

由消去，得.  

設,則.  

由,即得.  

∴拋物線在點處的切線的方程為，即.

∵， ∴.  

同理,得拋物線在點處的切線的方程為.  

由解得 

∴.  ∵,

∴點在橢圓上.  ∴.

化簡得.(*) 由, 

可得方程(*)有兩個不等的實數根. ∴滿足條件的點有兩個.    

解法2：設點,，，由,即得.

∴拋物線在點處的切線的方程為，

即.∵， ∴ .

∵點在切線上,  ∴.       ①        

同理， . ② 綜合①、②得，點的坐標都滿足方程.∵經過的直線是唯一的，∴直線的方程為，

∵點在直線上，     ∴.    ∴點的軌跡方程為.

若 ，則點在橢圓上，又在直線上，∵直線經過橢圓內一點,∴直線與橢圓交于兩點. 

∴滿足條件 的點有兩個.              

解法3：設點,，則，，

∵三點共線, .

化簡得：. ① 由,即得.  

∴拋物線在點處的切線的方程為，即. ②

同理，拋物線在點處的切線的方程為 .    ③   

設點，由②③得：，而，則 .  

代入②得 ， 則，代入 ① 得 ，

即點的軌跡方程為.若 ，則點在橢圓上，而點又在直線上，∵直線經過橢圓內一點,

∴直線與橢圓交于兩點. ∴滿足條件 的點有兩個.

考點：本題考查了圓錐曲線的方程及直線與圓錐曲線的位置關系

點評：解答此類問題時注意若直線與圓錐曲線有兩個交點，對待交點坐標是“設而不求”的原則，要注意應用韋達定理處理這類問題