Question

橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)在第一象限部分的一點P，以P點橫坐標作為長軸長，縱坐標作為短軸長作橢圓C₂，如果C₂的離心率等于C₁的離心率，則P點坐標為

 

．

Answer 1

分析：先假設P點坐標，進而可得到橢圓C₂的長軸和短軸與P點坐標的關系，然后表示出C₁與C₂的離心率，根據其離心率相等可得到C₁與C₂的長軸與短軸之間的關系，得到P點橫縱坐標之間的關系，然后代入到橢圓中可得到P點的坐標．

解答：解：設p（x，y） 2a'=x  2b'=y
C₁：e₁=

1- ( b a )2

     C₂：e₂=

1-( b′ a′ )2

∵e₁=e₂
∴

1- ( b a )2

=

1-( b′ a′ )2

∴

b

a

 =

b′

a′

=

y

x

∴y=

bx

a

 
∴將y代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 得x=

2 a

2

∴y=

2 b

a

故P點的坐標為：(

2

2

a，

2

2

b)
故答案為：(

2

2

a，

2

2

b)．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質--離心率和半長軸、半短軸之間的關系．橢圓的基本性質是橢圓的基礎，一般高考對橢圓的考查都是圍繞著橢圓的性質進行展開的，故要對橢圓的基本性質熟練掌握．