若B={x|x2-3x+2<0},是否存在實數a,使A={x|x2-(a+a2)x+a3<0}且A∩B=A?請說明你的理由.
分析:對于不等式x2-(a+a2)x+a3<0,用因式分解的方法來解(x-a)(x-a2)<0好.對于條件A∩B=A,理解為A是B的子集.
解答:解:∵B={x|1<x<2},若存在實數a,使A∩B=A,
則A={x|(x-a)(x-a
2)<0}.
(1)若a=a
2,即a=0或a=1時,
此時A={x|(x-a)
2<0}=∅,滿足A∩B=A,∴a=0或a=1;
(2)若a
2>a,即a>1或a<0(舍)時,A={x|a<x<a
2},要
使A∩B=A,則
?1≤a≤
,∴1<a≤
;
(3)若a
2<a,即0<a<1時,A={x|a
2<x<a},
要使A∩B=A,則
?1≤a≤2,∴a∈∅.
綜上所述,當1≤a≤
或a=0時滿足A∩B=A,
即存在實數a,使A={x|x
2-(a+a
2)x+a
3<0}且A∩B=A成立.
點評:解含有參數的不等式(x-a)(x-a2)<0是本題的一個難點,應采用對a進行分類討論的方法,本題體現了分類討論的思想方法.