Question

已知某種稀有礦石的價值y（單位：元）與其重量ω（單位：克）的平方成正比，且3克該種礦石的價值為54000元．
（1）寫出y（單位：元）關于ω單位：克）的函數關系式；
（2）若把一塊該種礦石切割成重量比為1：3的兩塊礦石，求價值損失的百分率；
（3）把一塊該種礦石切割成兩塊礦石時，切割的重量比為多少時，價值損失的百分率最大．（注：價值損失的百分率=×100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計）

Answer 1

【答案】分析：（1）價值y與其重量ω的平方成正比，設出函數解析式，用待定系數法可以求得；
（2）根據價值y與其重量ω的函數解析式，求出分割前的原有價值，分割后的現有價值，代入公式，價值損失的百分率=×100%，即得；
（3）由“價值損失的百分率=×100%=”；
解法1：若把一塊該種礦石按重量比為m：n切割成兩塊，價值損失的百分率可以表示出來，求其最大值，得m，n的關系；
解法2：若把一塊該種礦石按重量比為x：1切割成兩塊，價值損失的百分率也可以表示出來，求其最大值，得x：1的值；
兩種設法，實際上是一種解法．
解答：解（1）依題意，設y=kω²（ω＞0），
當ω=3時，y=54000，代入上式，得：k=6000，
故y=6000ω²（ω＞0）．

（2）設這塊礦石的重量為a克，由（1）可知，
按重量比為1：3切割后的價值為；，
價值損失為；，
價值損失的百分率為；．

（3）解法1：若把一塊該種礦石按重量比為m：n切割成兩塊，價值損失的百分率應為；，又，
當且僅當m=n時取等號，即重量比為1：1時，價值損失的百分率達到最大．
解法2：設一塊該種礦石切割成兩塊，其重量比為x：1，則價值損失的百分率為；，又x＞0，∴x²+1≥2x，
故，當且僅當x=1時等號成立．
答：（1）函數關系式y=6000ω²（ω＞0）；
（2）價值損失的百分率為37.5%；
（3）故當重量比為1：1時，價值損失的百分率達到最大．
點評：本題通過建立函數模型，考查正比例函數；通過所給公式，求價值損失率；通過求價值損失的百分率的最大值，考查基本不等式，屬于綜合性題目．