Question

已知：函數f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²．
（1）求：f（x）的單調區間；
（2）若x∈[0，1]時，設函數y=f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，求：θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的定義域，然后求導函數，令導數等于0，判定導數符號從而求出函數的單調區間；
（2）求切線斜率的取值范圍即先求g（x）=f'（x）=

2x(x+2)

x+1

的取值范圍，可利用導數研究g（x）的范圍，從而切線的范圍，即可求出θ的取值范圍．

解答：解：（1）函數的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞），f'（x）=2（1+x）-

2

1+x

=

2x(x+2)

x+1

，
令f'（x）=0解得x=0或x=-2，則

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-1）	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+	-	0	+
f（x）	↓	極大	↑	↓	極小	↑

由此：函數f（x）的單調增區間：（-2，-1），（0，+∞）；　　函數f（x）的單調減區間：（-∞，-2），（-1，0），
（2）令g（x）=f'（x）=

2x(x+2)

x+1

，（x≠-1）
g'（x）=2+

2

(x+1)2

＞0，則g（x）在區間[0，1]上是增函數，
所以f'（x）=g（x）∈[0，3]，根據導數的幾何意義可知：f'（x）=k=tanθ∈[0，3]，
∴θ∈[0，arctan3]．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及導數的幾何意義，同時考查了計算能力，屬于中檔題．