Question

下列條件能判斷△ABC一定為鈍角三角形的是（　�。�
①sinA+cosA=

1

5

；
②tanA+tanB+tanC＞0；
③b=3，c=3

3

，B=30°；
④

AB

•

BC

＞0．

A．①②

B．②③

C．①④

D．③④

Answer 1

分析：根據同角三角函數的平方關系算出若sinA+cosA=

1

5

，則2sinAcosA＜0，從而得出A為鈍角，得到①符合題意；根據斜三角形中的恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可得若tanA+tanB+tanC＞0則△ABC一定是銳角角三角形，得到②不符合題意；根據正弦定理解三角形，得③的三角形可能是直角三角形，得到③也不符合題意；根據向量數量積的定義，得若

AB

•

BC

＞0則B為鈍角，得到④符合題意．由此即可得到本題答案．

解答：解：對于①，若sinA+cosA=

1

5

，則（sinA+cosA）²=

1

25

因此，2sinAcosA=（sinA+cosA）²-1=

1

25

-1＜0，
由sinA＞0，得cosA＜0，可得A為鈍角，因此△ABC一定為鈍角三角形；
對于②，由于A=π-（B+C），得tanA=-tan（B+C）=-

tanB+tanC

1-tanBtanC

化簡整理，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
若tanA+tanB+tanC＞0則tanAtanBtanC＞0，
可得A、B、C均為銳角，故②的△ABC一定不是鈍角三角形
對于③，b=3，c=3

3

，B=30°
根據正弦定理，得sinC=

csinB

b

=

3 3 × 1 2

3

=

3

2

，
得C=60°或120°，從而A=90°或30°
因此△ABC可能是鈍角三角形，也可能是直角三角形；
對于④，由于

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cos（π-B）＞0．
∴cos（π-B）＞0，得cosB＜0，B為鈍角，故△ABC一定為鈍角三角形
綜上所述，只有①④的△ABC一定為鈍角三角形
故選：C

點評：本題判斷幾個三角形是否一定是鈍角三角形，著重考查了同角三角函數的關系、兩角和的三角函數公式和正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．