Question

【題目】設(shè)是一個(gè)給定的非零實(shí)數(shù),在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的方程為且,點(diǎn).

(1)設(shè)是上的任意一點(diǎn),試求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程并指出曲線的類型和位置;

(2)求出、在它們的交點(diǎn)處的各自切線之間的夾角(銳角)(用反三角函數(shù)式表示)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）

（且）

（由，得）

（且）.

故曲線是在一條等軸雙曲線上挖去點(diǎn)（0，0）和所得的曲線.

設(shè)的中點(diǎn)為，則.

從而，.

代入方程得

（且）.

因此，的軌跡的方程為

（且）.

它的中心點(diǎn)為，漸近線為及，即是在一條等軸雙曲線上挖去點(diǎn)和所得的曲線.

（2）聯(lián)立方程組

②÷①得.

解得，代入式②得.

故與的交點(diǎn)為.

對(duì)的兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得，即

.

再對(duì)的兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得，即

.

與在焦點(diǎn)處的各自的切線的夾角（銳角）的正切值為.

故.