Question

已知平面向量

a

=（1，x），

b

=（2x+3，-x）（x∈R）．
（1）若

a

⊥

b

，求x的值；   
（2）若

a

∥

b

，求|

a

-

b

|．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

，

a

•

b

=0，我們易構造一個關于x的方程，解方程即可求出滿足條件的x的值．
（2）若

a

∥

b

，根據兩個向量平行，坐標交叉相乘差為零，構造一個關于x的方程，解方程求出x的值后，分類討論后，即可得到|

a

-

b

|．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=（1，x）•（2x+3，-x）=2x+3-x²=0
整理得：x²-2x-3=0
解得：x=-1，或x=3
（2）∵

a

∥

b

∴1×（-x）-x（2x+3）=0
即x（2x+4）=0
解得x=-2，或x=0
當x=-2時，

a

=（1，-2），

b

=（-1，2）

a

-

b

=（2，-4）
∴|

a

-

b

|=2

5

當x=0時，

a

=（1，0），

b

=（3，0）

a

-

b

=（-2，0）
∴|

a

-

b

|=2
故|

a

-

b

|的值為2

5

或2．

點評：本題考查的知識是數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，向量的模，平行向量與共線向量，其中根據“兩個向量平行，坐標交叉相乘差為零，兩個向量若垂直，對應相乘和為零”構造方程是解答本題的關鍵．