Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）•f（x）=1對(duì)于x∈R恒成立，且f（x）＞0，則f（2011）=

1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求出函數(shù)的周期為4，在根據(jù)周期把所求問題轉(zhuǎn)化，即可得到答案．

解答：解：∵f(x+2)=

1

f(x)

，
∴f（x+4）=f（x），
所以周期T=4，f（2011）=f（3）．
令x=-1，f（1）•f（-1）=1=f²（1），
又f（x）＞0
∴f(1)=1，f(3)=

1

f(1)

=1．
∴f（2011）=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性，要特別利用好題中f（x+2）•f（x）=1的關(guān)系式．