Question

（選修4-5：不等式選講）
已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）設(shè)a＞-1，且當(dāng)時(shí)，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．設(shè)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，畫出函數(shù)y的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．
（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a-2對都成立．故-≥a-2，由此解得a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．
設(shè)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，則 y=，它的圖象如圖所示：
結(jié)合圖象可得，y＜0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）．
（Ⅱ）設(shè)a＞-1，且當(dāng)時(shí)，f（x）=1+a，不等式化為 1+a≤x+3，故 x≥a-2對都成立．
故-≥a-2，解得 a≤，故a的取值范圍為（-1，]．
點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．