Question

已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C的對邊，且滿足2asinB-=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）當A為銳角時，求函數y=sinB+sin（C-）的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵2asinB-=0
∴由正弦定理，得：2sinAsinB-=0，
∵B是三角形內角，可得sinB＞0…（3分）
∴等式的兩邊約去sinB，得2sinA-=0，即sinA=…（5分）
因此，A=或A= …（7分）
（Ⅱ）∵A為銳角，∴結合（I）得A=
結合三角形內角和，得B+C= …（9分）
∵y=sinB+sin（C-）=sinB+sin（-B）
=sinB+cosB=2sin（B+） …（12分）
∵B∈（0，），得B+∈（，）
∴sin（B+）∈，可得2sin（B+）∈（1，2]
因此，函數y=sinB+sin（C-）的值域域為（1，2]…（14分）
分析：（I）根據正弦定理，化簡2asinB-=0得2sinAsinB-=0，結合sinB＞0算出sinA=，由A∈（0，π）即可得到A=或A=；
（II）因為A為銳角，可得A=，從而得到B+C=，將函數y=sinB+sin（C-）化簡為y=sinB+sin（-B），再由兩角差的正弦公式和輔助角公式化簡整理，得y=2sin（B+），最后根據三角函數的圖象與性質，結合角B的取值范圍，即可求出函數y=sinB+sin（C-）的值域．
點評：本題給出三角形中的邊角關系，求角A的大小并依此求一個三角函數式的值域，著重考查了用正余弦定理解三角形、三角函數的圖象與性質和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．