Question

已知函數f(x)=2x-

1

2|x|

．
（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；
（Ⅱ）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當x≤0時得到f（x）=0而f（x）=2，所以無解；當x＞0時解出f（x）=2求出x即可；
（II）由 t∈[1，2]時，3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=2t-

1

2t

，代入得到m的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）當x≤0時f（x）=0，
當x＞0時，f(x)=2x-

1

2x

，
有條件可得，2x-

1

2x

=2，
即2^2x-2×2^x-1=0，解得2x=1±

2

，∵2^x＞0，∴2x=1+

2

，∴x=log2(1+

2

)．
（Ⅱ）當t∈[1，2]時，2t( 22t-

1

22t

 )+m( 2t-

1

2t

 )≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）．
∵t∈[1，2]，∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范圍是[-5，+∞）．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題．屬于基礎題．恒成立問題多需要轉化，因為只有通過轉化才能使恒成立問題等到簡化；轉化過程中往往包含著多種數學思想的綜合運用，同時轉化過程更提出了等價的意識和要求．