Question

【題目】已知拋物線的焦點為，拋物線上橫坐標為的點到拋物線頂點的距離與該點到拋物線準線的距離相等。

（1）求拋物線的方程；

（2）設直線與拋物線交于兩點，若，求實數的值。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）將拋物線上點的橫坐標代入方程，求其縱坐標。因為拋物線上橫坐標為的點到拋物線頂點的距離與其到準線的距離相等，用坐標表示距離相等，整理得，進而求。（2）設， ，直線與拋物線方程聯立消x得，得出。由，得，即，然后用坐標表示，可求的值。

試題解析：（1）拋物線上橫坐標為的點的坐標為，到拋物線頂點的距離的平方為，

∵拋物線上橫坐標為的點到拋物線頂點的距離與其到準線的距離相等，

∴，

∴，

拋物線方程為： .

（2）由題意，直線，代入得， ，

設， ，則，

∵，∴，即，

可得： ，

∴，

∴，

解得： .