Question

我們把離心率等于黃金比例的橢圓稱為“優美橢圓”．設是優美橢圓，F、A分別是它的左焦點和右頂點，B是它的短軸的一個端點，則∠ABF等于（ ）
A．60°
B．75°
C．120°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：由于所以 驗證|FA|²=|FB|²+|AB|²成立所以所以∠FBA等于 90°．
解答：解：∵
∴
在三角形FAB中有b²+c²=a²
|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=
∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²
所以∠FBA等于 90°．
故選D．
點評：解決此類問題關鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質，以及利用邊長關系判斷三角形的形狀的問題．