Question

某地今年年初有居民住房面積為am²，其中需要拆除的舊房面積占了一半．當地有關部門決定每年以當年年初住房面積的10%的住房增長率建設新住房，同時每年拆除xm²的舊住房，又知該地區人口年增長率為4.9‰．
（1）如果10年后該地的人均住房面積正好比目前翻一番，那么每年應拆除的舊住房面積x是多少？
（2）依照（1）拆房速度，再過多少年能拆除所有需要拆除的舊住房？
下列數據供學生計算時參考：

1.19=2.38	1.00499=1.04
1.110=2.6	1.004910=1.05
1.111=2.85	1.004911=1.06

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，可得過10年住房總面積為1.1¹⁰a-1.1⁹x-1.1⁸x-…-1.1x-x=1.1¹⁰a-x=2.6a-16x
設今年人口數為m，根據該地區人口年增長率為4.9‰，求出10年后人口數為m（1+4.9‰）¹⁰=1.05m，利用10年后該地的人均住房面積正好比目前翻一番，建立方程，即可得到結論；
（2）根據居民住房面積為am²，其中需要拆除的舊房面積占了一半，每年應拆除的舊住房面積m²，可得拆除所有需要拆除的舊住房所需要時間．
解答：解：（1）過1年住房總面積為1.1a-x（m²）
過2年住房總面積為1.1（1.1a-x）-x=1.1²a-1.1x-x（m²）
過3年住房總面積為1.1（1.1²a-1.1x-x）-x=1.1³a-1.1²x-1.1x-x（m²）
…
過10年住房總面積為1.1¹⁰a-1.1⁹x-1.1⁸x-…-1.1x-x=1.1¹⁰a-x=2.6a-16x
設今年人口數為m，∵該地區人口年增長率為4.9‰，
∴10年后人口數為m（1+4.9‰）¹⁰=1.05m
由題意，10年后該地的人均住房面積正好比目前翻一番
∴=2a 
解得（m²）
（2）∵居民住房面積為am²，其中需要拆除的舊房面積占了一半，每年應拆除的舊住房面積m²，
∴拆除所有需要拆除的舊住房所需要時間為年
點評：本題考查等比數列模型的構建，考查數列的求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．