Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求證：直線A₁B∥平面ACD₁；
（2）求證：平面ACD₁⊥BD₁D平面．
（3）若邊長為4，求三棱錐D₁-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）連接A₁B，則四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，可得A₁B∥CD₁，利用線面平行的判定，即可得到結論；
（2）先證明AC⊥平面BD₁D，再利用面面垂直的判定可得結論；
（3）由題意，D₁D⊥平面ABCD，利用三棱錐的體積公式即可得到結論．

解答：（1）證明：連接A₁B，則四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，∴A₁B∥CD₁，

∵A₁B?平面ACD₁，CD₁?平面ACD₁，
∴直線A₁B∥平面ACD₁；
（2）證明：平面BD₁D即對角面BB₁D₁D
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，BD與BB₁都在平面BD₁D內且相交于B，∴AC⊥平面BD₁D．
又AC?平面ACD₁，
∴平面ACD₁⊥平面BD₁D平面；
（3）解：由題意，D₁D⊥平面ABCD．
∵邊長為4，
∴三棱錐D₁-ABC的體積為

1

3

×

1

2

×4×4×4=

32

3

．

點評：本題考查線面平行，線面垂直，考查三棱錐體積的計算，掌握線面平行、垂直的判定方法是關鍵．