Question

已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)f (x)的極值情況；

（2）設(shè)g (x) = ln(x + 1)，當(dāng)x₁>x₂>0時，試比較f (x₁ – x₂)與g (x₁ – x₂)及g (x₁) –g (x₂)三者的大小；并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）f (x)在(0, +∞)上遞增，故f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值  （2）見解析

【解析】本試題主要考查了分段函數(shù)的極值的問題的運(yùn)用。利用三次函數(shù)的極值的判定結(jié)合證明。以及利用單調(diào)性證明不等式的問題的綜合運(yùn)用。

（1）分別對于兩段函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定，確定極值問題。

(2)先對當(dāng)x >0時，先比較e^x – 1與ln(x + 1)的大小，

然后得到就是f (x) > g (x) ，成立．再比較與g (x₁) –g (x₂) =ln(x₁ + 1) –ln(x₂ + 1)的大小．，利用作差法得到證明。

解：（1）當(dāng)x>0時，f (x) = e^x – 1在(0，+∞)單調(diào)遞增，且f (x)>0；

    當(dāng)x≤0時，．

    ①若m = 0，f ′(x) = x²≥0, f (x) =在(–∞，0]上單調(diào)遞增，且f (x) =．

    又f (0) = 0，∴f (x)在R上是增函數(shù)，無極植；

    ②若m<0，f ′(x) = x（x + 2m) >0，則f (x) =在(–∞，0)單調(diào)遞增，同①可知f (x)在R上也是增函數(shù)，無極值；         ………………4分

    ③若m>0，f (x)在(–∞，–2m]上單調(diào)遞增，在(–2m，0)單調(diào)遞減，

    又f (x)在(0, +∞)上遞增，故f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值． 6分

    （2）當(dāng)x >0時，先比較e^x – 1與ln(x + 1)的大小，

    設(shè)h(x) = e^x – 1–ln(x + 1)   (x >0)

    h′(x) =恒成立

    ∴h(x)在(0，+∞)是增函數(shù)，h(x)>h (0) = 0

    ∴e^x – 1–ln(x + 1) >0即e^x – 1>ln(x + 1)

    也就是f (x) > g (x) ，成立．

    故當(dāng)x₁ – x₂>0時，f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂)……………………………10分

    再比較與g (x₁) –g (x₂) =ln(x₁ + 1) –ln(x₂ + 1)的大小．

    =

    =

    ∴g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂)

    ∴f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂) ．