Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），函數f（x）=

m

•

n

．
（1）若f（x）=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足acosC+

1

2

c=b，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式求得函數f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，由 f（x）=1，可得 sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，再利用二倍角公式求得cos（

2π

3

-x）的值．
（2）由acosC+

1

2

c=b利用余弦定理可得 cosA=

b2+c 2 -a 2

2bc

=

1

2

，求出 A=

π

3

，B+C=

2π

3

．再由

B

2

+

π

6

的范圍求出f（B）=sin（

B

2

+

π

6

）+

1

2

的范圍．

解答：解：（1）由題意得：函數f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

．
若 f（x）=1，可得 sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
則 cos（

2π

3

-x）=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

x

2

+

π

6

)-1=-

1

2

．
（2）由acosC+

1

2

c=b可得 a•

b2+c 2 -a 2

2bc

+

1

2

c=b，即 b²+c²-a²=bc．
∴cosA=

b2+c 2 -a 2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

，B+C=

2π

3

．
∴0＜B＜

2π

3

，0＜

B

2

＜

π

3

，
∴

π

6

＜

B

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin（

B

2

+

π

6

）＜1，
∴f（B）=sin（

B

2

+

π

6

）+

1

2

∈（1，

3

2

）．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式的應用，余弦定理和誘導公式、二倍角公式的應用，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．