Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x2+2bx+c，設函數g（x）=|f（x）|在區間[﹣1，1]上的最大值為M．
（1）若b=2，試求出M；
（2）若M≥k對任意的b、c恒成立，試求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當b=2時，f（x）=﹣x2+2bx+c在區間[﹣1，1]上是增函數，

則M是g（﹣1）和g（1）中較大的一個，

又g（﹣1）=|﹣5+c|，g（1）=|3+c|，

則 ；

（2）解：g（x）=|f（x）|=|﹣（x﹣b）2+b2+c|，

（i）當|b|＞1時，y=g（x）在區間[﹣1，1]上是單調函數，

則M=max{g（﹣1），g（1）}，

而g（﹣1）=|﹣1﹣2b+c|，g（1）=|﹣1+2b+c|，

則2M≥g（﹣1）+g（1）≥|f（﹣1）﹣f（1）|=4|b|＞4，可知M＞2．

（ii）當|b|≤1時，函數y=g（x）的對稱軸x=b位于區間[﹣1，1]之內，

此時M=max{g（﹣1），g（1），g（b）}，

又g（b）=|b2+c|，

①當﹣1≤b≤0時，有f（1）≤f（﹣1）≤f（b），

則M=max{g（b），g（1）} （g（b）+g（1）） |f（b）﹣f（1）|= ；

②當0＜b≤1時，有f（﹣1）≤f（1）≤f（b）．

則M=max{g（b），g（﹣1）} （g（b）+g（﹣1）） |f（b）﹣f（﹣1）|= ．

綜上可知，對任意的b、c都有 ．

而當b=0， 時， 在區間[﹣1，1]上的最大值 ，

故M≥k對任意的b、c恒成立的k的最大值為

【解析】（1）把b=2代入函數解析式，由函數在區間[﹣1，1]上是增函數得到M是g（﹣1）和g（1）中較大的一個，由此根據c的范圍試求出M；（2）把函數g（x）配方，然后分|b|＞1時，|b|≤1時由函數y=g（x）的單調性求出其最大值，又g（b）=|b2+c|，再分當﹣1≤b≤0時和0＜b≤1時，求出最大值M，經比較可知對任意的b、c都有 ．再求出當b=0， 時g（x）在區間[﹣1，1]上的最大值 ，由此可得M≥k對任意的b、c恒成立的k的最大值為 ．
【考點精析】掌握二次函數在閉區間上的最值是解答本題的根本，需要知道當時，當時，；當時在上遞減，當時，．