Question

一農民有基本農田2畝，根據往年經驗，若種水稻，則每季每畝產量為400公斤；若種花生，則每季每畝產量為100公斤．但水稻成本較高，每季每畝240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤賣3元．現該農民手頭有400元．
（1）設該農民種x畝水稻，y畝花生，利潤z元，請寫出約束條件及目標函數；
（2）問兩種作物各種多少，才能獲得最大收益？

Answer 1

分析：（1）先根據該農民種x畝水稻，y畝花生時，能獲得利潤z元，結果題中條件，即可寫出約束條件及目標函數；
（2）再根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，目標函數表示直線在y軸上的截距的420倍，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．

解答：解：（1）約束條件為
  

x+y≤2 240x+80y≤400 x≥0 y≥0

即  

x+y≤2 3x+y≤5 x≥0 y≥0

…（4分）
目標函數為z=（3×400-240）x+（5×100-80）y=960x+420y
…（7分）
（2）作出可行域如圖所示，…（9分）
把z=960x+420y變形為y=-

16

7

x+

z

420

，
得到斜率為-

16

7

，在y軸上的截距為

z

420

，
隨z變化的一族平行直線；當直線y=-

16

7

x+

z

420

經過可行域上的點B時，截距

z

420

最大，即z最大．
解方程組 

x+y=2 3x+y=5

得B的坐標是（1.5，0.5）…（12分）
故當x=1.5，y=0.5時，z_max=1650元    …（13分）
答：該農民種1.5畝水稻，0.5畝花生時，能獲得最大利潤，最大利潤為1650元．…（14分）

點評：本題主要考查了簡單的線性規劃在實際生活中的應用，以及利用幾何意義求最值．