Question

某整數集合A既含有正整數，也含有負整數，而且如果a和b是它的元素，那么2a和a＋b也是它的元素，證明：集合A包含它的任意兩個元素之差．

Answer 1

證明：不難證明：如果整數c是集合A的元素，而n是自然數，那么nc也屬于集合A．

因為集合A既含有正整數，也含有負整數，根據最小數原理，集合A存在最小的正整數a和絕對值最小的負整數b．這兩個數的和a＋b也應該屬于集合A，而且滿足不等式．

b＜a＋b＜a

但是集合A不含有小于a的正數和大于b的負數，所以a＋b只能等于0．因此，數0屬于集合A，且b＝－a．根據前面所證，集合A包含數a的所有整數倍．

設x∈A，則由帶余數除法，存在整數q、r，使x＝qa＋r(0≤r＜a)．于是r＝x＋(－qa)∈A．由于0≤r＜a，必有r＝0．即A中的數均為a的整數倍．

既然集合A的元素都是a的整數倍，因此集合A的任意兩個元素之差也是元素a的整數倍，因而屬于集合A．