Question

函數(shù)f（x）的定義域為R，f（-2）=2013，對任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，則不等式f（x）＞x²+2009的解集為（　　）

A．（-2，2）

B．（-2，+∞）

C．（-∞，-2）

D．（-∞，+∞）

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x²-2009，利用對任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，即可得出函數(shù)g（x）在R上單調(diào)性，進(jìn)而即可解出不等式．

解答：解：令g（x）=f（x）-x²-2009，則g′（x）=f′（x）-2x＜0，
∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減，
而f（-2）=2013，
∴g（-2）=f（-2）-（-2）²-2009=0．
∴不等式f（x）＞x²+2009，可化為g（x）＞g（-2），
∴x＜-2．
即不等式f（x）＞x²+2009的解集為（-∞，-2）．
故選C．

點(diǎn)評：恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)和熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．