Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+11

x+1

(a∈R)，若對于任意的x∈N^*，f（x）≥3恒成立，則a 的最小值等于（　　）

• A．-

  8

  3

• B．-3
• C．-4

  2

  +3
• D．-6

Answer 1

分析：f（x）=

x2+ax+11

x+1

≥3恒成立，即x²+ax+11≥3x+3恒成立，再分離參數(shù)求最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵x∈N^*，
∴f（x）=

x2+ax+11

x+1

≥3恒成立，即x²+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-8+3x，又x∈N^*，
∴a≥-

8

x

-x+3恒成立，
令g（x）=-

8

x

-x+3（x∈N^*），∴a≥g（x）_max，
再令h（x）=x+

8

x

（x∈N^*），
∵h(yuǎn)（x）=x+

8

x

在（0，2

2

]上單調(diào)遞減，在[2

2

，+∞）上單調(diào)遞增，而x∈N^*，
∴h（x）在x取距離2

2

較近的整數(shù)值時達(dá)到最小，而距離2

2

較近的整數(shù)為2和3，
∵h(yuǎn)（2）=6，h（3）=

17

3

，h（2）＞h（3），
∴當(dāng)x∈N^*時，h（x）_min=

17

3

．又g（x）=-

8

x

-x+3=-h（x）+3，
∴g（x）_max=-

17

3

+3=-

8

3

．
∴a≥-

8

3

．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)的思想，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．