Question

已知等差數列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第二項、第五項、第十四項分別是等比數列{b_n}的第二項、第三項、第四項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設數列{c_n}對任意正整數n均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=(n+1)an+1成立，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式將第二項，第五項，第十四項用{a_n}的首項與公差表示，再據此三項成等比數列，列出方程，求出公差，利用等差數列及等比數列的通項公式求出數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）利用數列的第n項等于前n項和減去前n-1項的和求出

cn

bn

，進一步求出c_n，利用錯位相減法求和．

解答：解：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
∵a₁=1，
∴d=2，
∴a_n=2n-1，
∵b₂=a₂=1+2=3，
b₃=a₅=1+8=9，
∴

b1q=3 b1q2=9

，
∴b₁=1，q=3，
∴b_n=3^n-1（5分）
（2）當n=3時，c₁=2a₂×b₁=6；
當n≥2時，

cn

bn

=(n+1)an+1-nan=4n+1，
∴c_n=（4n+1）•3^n-1，故cn=

6，n=1 (4n+1)•3n-1，n≥2

，
∴S_n=c₁+c₂．+…+c_n=6+9×3+13×3²+17×3³+…+（4n-3）×3^n-2+（4n+1）×3^n-1，①
3S_n=18+9×3²+13×3³+17×3⁴…+（4n-3）×3^n-1+（4n+1）×3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=15+4（3²+3³+3⁴+…+3^n-1）-（4n+1）×3ⁿ
=15+4×

9(1-3n-2)

1-3

-（4n+1）×3ⁿ
=15+2×3ⁿ-18-（4n+1）×3ⁿ
=-3+（1-4n）×3ⁿ，
∴Sn=

4n-1

2

×3n+

3

2

．

點評：求數列的前n項和，關鍵先求出數列的通項，判斷出通項的特點，再選擇合適的求和方法．