Question

已知y=4 x-

1

2

-3×2^x+5，0≤x≤2
（Ⅰ）設t=2^x，x∈[0，2]，求t的最大值與最小值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值與最小值及相應的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設t=2^x ，0≤x≤2，由于函數t=2^x 在R上是增函數，可得t的最大值與最小值．
（Ⅱ）由于函數 y=f（x）

1

2

（t-3）²+

1

2

，1≤t≤4．利用二次函數的性質可得f（x）的最大值與最小值及相應的x值．

解答：解：（Ⅰ）設t=2^x ，0≤x≤2，由于函數t=2^x 在R上是增函數，故當x=0時，t取得最小值為2⁰=1，當x=2時，t取得最大值為2²=4．
（Ⅱ）由于函數 y=f（x）=4 x-

1

2

-3×2^x+5=

1

2

（2^x）²-3•2^x+5=

1

2

t²-3t+5=

1

2

（t-3）²+

1

2

，1≤t≤4．
故當t=3時，函數y取得最小值為

1

2

，此時，x=log₂3．當t=1時，函數y取得最大值為

5

2

，此時，x=0．

點評：本題主要考查復合函數的單調性的應用，指數函數、二次函數的性質應用，屬于中檔題．