Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，如果函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當時，試比較與1的大小；ks5u

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，定義域是，

， ks5u

令，得_或．  …2分

當或時，，當時，，

    ∴函數(shù)、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………4分

的極大值是，極小值是．

當時，；當時，，

當僅有一個零點時，的取值范圍是或．………5分

  （Ⅱ）當時，，定義域為．

      令，

       ，

       在上是增函數(shù)．              …………………………7分

①當時，，即；

②當時，，即；

③當時，，即．  …………………………………9分

（Ⅲ）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當時，，即．

令，則有，   

． ……………12分

，

．                …………………………14分

 （法二）當時，．

，，即時命題成立．   ……………………10分

設(shè)當時，命題成立，即 ．

 時，．

根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，當時，，

即．

令，則有，

則有，

即時命題也成立．……………13分

因此，由數(shù)學歸納法可知不等式成立．   ……………………………14分