Question

中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C₁的離心率為e，直線l與雙曲線C₁交于A，B兩點，線段AB中點M在一象限且在拋物線y²=2px（p＞0）上，且M到拋物線焦點的距離為p，則l的斜率為（　　）

• A．

  e2-1

  2

• B．e²-1
• C．

  e2+1

  2

• D．e²+1

Answer 1

分析：利用拋物線的定義，確定M的坐標，利用點差法將線段AB中點M的坐標代入，即可求得結論．

解答：解：∵M在拋物線y²=2px（p＞0）上，且M到拋物線焦點的距離為p，
∴M的橫坐標為

p

2

，∴M（

p

2

，p）
設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1
兩式相減，并將線段AB中點M的坐標代入，可得

p(x1-x2)

a2

-

2p(y1-y2)

b2

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=

b2

2a2

∴

y1-y2

x1-x2

=

a2-c2

2a2

=

e2-1

2

故選A．

點評：本題考查雙曲線與拋物線的綜合，考查點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．