Question

為了緩解高考壓力，某中學高三年級成立了文娛隊，每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，其中會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現從中選2人．設ξ為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且P(ξ＞0)=

7

10

．
（1）求文娛隊的人數；
（2）求ξ的分布列并計算Eξ．

Answer 1

分析：（1）文娛隊的人數=會唱歌的+會跳舞的-即會唱歌又會跳舞的人數．
（2）從中選2人既會唱歌又會跳舞的人數可能為：0、1、2．求出相應的概率，列出分布列即可求出期望．

解答：解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數是（7-2x）人．
（1）∵P（ξ＞0）=1-P（ξ=0）=

7

10

，∴P（ξ=0）=

3

10

，即

C 2 7-2x

C 2 7-x

=

3

10

，
∴

(7-2x)(6-2x)

(7-x)(6-x)

=

3

10

，∴x=2∴7-x=5
故文娛隊共有5人．
（2）P（ξ=0）=

3

10

，P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 3

C 2 5

=

3

5

，P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 5

=

1

10

ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	3 10	3 5	1 10

∴Eξ=0×

3

10

+1×

3

5

+2×

1

10

=

4

5

點評：此題把集合和概率有機的結合在一起，比較新穎．既考查了學生對集合的理解又考查了分布列和期望．