Question

已知一個樣本共有2n個數據，其中前n個數據的平均數為₁，方差為s₁²后n個數據的平均數為₂，方差為s₂²。設該總體樣本的平均數為，方差為s²。

求證：（1）＝（₁＋₂）；   （2）s²＝＋（）²。

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：（1）設2n個數據分別為x1、x2、…、xn、xn+1、…、x2n，則1＝（x1＋x2＋…xn），2＝（xn＋1＋xn＋2…x2n）， ∴ ＝（x1＋x2…xn＋xn＋1＋xn＋2＋…＋x2n） ＝［（x1＋x2…＋xn）＋（xn＋1＋xn＋2＋…＋x2n）］ ＝ （1＋2）。 又s12＝［（－x1）2＋（1－x2）2＋…＋（1－xn）2］ ＝［n12＋（x1＋x22＋…＋xn2）－21（x1＋x2＋…＋xn）］ ＝（x12＋x22＋…xn2）－12。 同理，s22＝（xn＋12＋xn＋22＋…x2n2）－ 22， ∴ s2＝（x12＋x22＋…xn2＋xn＋12＋…x2n2）－2 ＝（s12＋12＋s22＋22）－（12＋212＋22） ＝＋（）2。