Question

已知函數f（x）=x³-2x²+x+1．
（Ⅰ）求f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區間[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=0處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出進行化簡即可；
（II）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，將f（x）的各極值與其端點0，2的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-4x+（12分）f（0）=1，切點坐標（0，1）（3分）
切線斜率k=f'（0）=（14分）f（x）在x=0處的切線方程為y-1=x即x-y+1=0（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得或x=（18分）
在區間[0，2]上x、f'（x）、f（x）的關系如下表
（10分）

因此f（x）在區間[0，2]上的最大值是3最小值是1．（13分）
點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，屬于基礎題．