Question

已知數列A：a₁，a₂，…，a_n（n≥3），令T_A={x|x=ai+aj.1≤i＜j≤n}，car（T_A）表示集合T_A中元索的個數．
①若A：2，4，8，16，則card（T_A）=

6

；
②若a_i+1-a_i=c（c為非零常數．1≤i≤n-1），則card（T_A）=

2n-3

．

Answer 1

分析：對于①若A={2，4，8，16}，直接計算出T_A={6，10，18，12，20，24}，即可得出答案；
②若a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c為非零常數），說明數列a₁，a₂，…，a_n，構成等差數列，利用特殊化思想，取特殊的等差數列進行計算，結合類比推理可得card（T_A）=2n-3．

解答：解：①若A={2，4，8，16}，
則T_A={6，10，18，12，20，24}，
∴card（T_A）=6；
②若a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c為非零常數），說明數列a₁，a₂，…，a_n，構成等差數列，
取特殊的等差數列進行計算，
取A={1，2，3，…，n}，則T_A={3，4，5，…，2n-1}，
由于（2n-1）-3+1=2n-3，
∴T_A中共2n-3個元素，
利用類比推理可得
若a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c為非零常數），則card（T_A）=2n-3．
故答案為：6；2n-3．

點評：本題考查集合與元素的位置關系和數列的綜合應用，綜合性較強，解題時注意特殊化思想和轉化思想的運用，解題時要認真審題，仔細解答，避免錯誤，屬基礎題．