Question

某公司通過報紙和電視兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據資料統計，銷售收入R（萬元）與報紙廣告費用x₁（萬元）及電視廣告費用x₂（萬元）之間的關系有如下經驗公式：R=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28．
（1）若提供的廣告費總共為5萬元，求最優廣告策略（即收益最大的策略，其中收益=銷售收入-廣告費用）；
（2）在廣告費用不限的情況下，求最優廣告策略．

Answer 1

解：設收益為y，則y=R-x₁-x₂，
（1）∵x₁+x₂=5，故x₂=5-x₁∈（0，5），
又x₁∈（0，5），∴x₁∈（0，5）
∴y=R-x₁-x₂=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28-x₁-x₂
將x₂=5-x₁代入上式得
y=-3x₁²+12x₁-3=-3（x₁-2）²+9
當x₁=2時，最大收益為9
由上知，當x₁=2，x₂=3時，收益最大是9萬元
（2）若廣告費用不受限制，由（1）知
y=R-x₁-x₂=-2x₁²-x₂²+12x₁+10x₂-28
=-2（x₁-3）²-（x₂-5）²+15
故當x₁=3，x₂=5時收益最大為15萬元．
分析：設收益為y，則y=R-x₁-x₂，對（1）因為廣告費總共為五萬元，故x₁+x₂=5，由此可以把收益轉化為關于x₁的函數，再利用相關函數的性質選取求最值的方法，求最值即可．
點評：考查根據實際問題建立函數，用配方法求一元二次函數的最值．