Question

在數學中“所有”一詞，叫做全稱量詞，用符號“?”表示；“存在”一詞，叫做存在量詞，用符號“?”表示．設f(x)=

x2-3x+3

2

(x＞2)，g(x)=ax(a＞1，x＞2)．
①若?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，則實數m的取值范圍為

 

；
②若?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：①先對函數配方，求出其對稱軸，判斷出其在給定區間上的單調性進而求出函數值的范圍，即可求出實數m的取值范圍；
②先利用單調性分別求出兩個函數的值域，再比較即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：因為f（x）=

x2-3x+3

2

=

(x- 3 2 )2+ 3 4

2

，（2，+∞），f（x）＞f（2）=

1

2

；g（x）=a^x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a²．
①∵?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，
∴m＞

1

2

；
②∵?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
∴

a＞1 a2＜ 1 2

?a不存在．
故答案為：（

1

2

，+∞）：不存在．

點評：本題主要考查函數恒成立問題以及借助于單調性研究函數的值域，是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題目．