Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F且斜率為l的直線與拋物線交于兩點M，N，坐標原點為O，且△MON的面積為2

2

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）過點F，直線l：y=x+t被橢圓E截得的弦長的最大值為

8

3

，試求a的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得直線MN的方程為y=x-

p

2

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與拋物線的方程聯立可得根與系數的關系，利用弦長公式可得|MN|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

，利用點到直線的距離公式可得點O到直線MN的距離d．再利用三角形的面積計算公式即可得出．
（2）設直線l：y=x+t被橢圓E截得的弦為G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）．由于橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）過點F（1，0），可得b=1，橢圓的方程化為：

y2

a2

+x2=1．與直線方程聯立可得根與系數的關系，利用弦長公式及其函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得直線MN的方程為y=x-

p

2

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(

p

2

，0)．
聯立

y=x- p 2 y2=2px

，化為4x²-12px+p²=0，
∴x₁+x₂=3p，x₁x₂=

p2

4

，
∴|MN|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2(9p2-p2)

=4p，
點O到直線MN的距離d=

p 2

2

=

p

2 2

．
∴△MON的面積S=

1

2

d•|MN|=

1

2

×

p

2 2

×4p=2

2

，解得p=2．
∴拋物線C的方程y²=4x．
（2）設直線l：y=x+t被橢圓E截得的弦為G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）．
∵橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）過點F（1，0），∴b=1，
因此橢圓的方程化為：

y2

a2

+x2=1．
聯立

y2 a2 +x2=1 y=x+t

，化為（a²+1）x²+2tx+t²-a²=0，
△=4t²-4（a²+1）（t²-a²）＞0，化為a²+1＞t²．
∴x₃+x₄=

-2t

a2+1

，x3x4=

t2-a2

a2+1

．
∵直線l：y=x+t被橢圓E截得的弦長的最大值為

8

3

，
∴|GH|=

2[(x3+x4)2-4x3x4]

=

2[ 4t2 (a2+1)2 - 4(t2-a2) a2+1 ]

=

2 2 a a2+1-t2

a2+1

≤

2 2 a a2+1

a2+1

=

8

3

．當且僅當t=0時取等號．
解得a=2

2

．
∴a=2

2

．

點評：本題考查了直線與橢圓拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式、三角形的面積計算公式、點到直線的距離公式、函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．